Владимир Губайловский (Москва). Геометрия Достоевского. Тезисы к исследованию

Владимир Губайловский

ГЕОМЕТРИЯ ДОСТОЕВСКОГО

Тезисы к исследованию

ИСТИНА И ХРИСТОС

на происходящее в математике (с математикой) со стороны, он представлял себе язык и метод математики и мог почувствовать те парадоксы, которые уже вторгались в науку и на которые многие профессиональные математики еще не обращали должного внимания. Собственно ощущение "парадоксальности" математики и ее недостаточная обоснованность возникли едва ли не в тот момент, когда требование последовательной строгости было осознано как обязательная составляющая любого математического рассуждения. Если в геометрии строгий вывод был обязателен уже со времен Евклида¹, то в бурно развивавшемся математическом анализе положение было гораздо более шатким. Строгое обоснование анализа стало утверждаться в начале - первой половине XIX в., в частности в работах Огюстена-Луи Коши (1789-1857) и Карла Гаусса (1777-1855). Теоретические построения великих математиков XVIII в. - в первую очередь Леонарда Эйлера (1707-1783), но и Жана Д'Аламбера (1717-1783), и Жозефа-Луи Лагранжа (1736-1813), и даже Пьера Лапласа (1749-1827), - с сегодняшней точки зрения не всегда отвечают требованиям строгости рассуждения. Верность результатов романтиков математики обеспечивалась не столько обоснованностью вывода, сколько интуицией и мышлением по аналогии - как у средневековых философов. (Впрочем, мышление схоластов часто было гораздо строже, чем мышление математиков Просвещения, именно с точки зрения точности логического вывода и аксиоматического обоснования.)

Требование строгости математического вывода было отчетливо осознано Кантом в "Критике чистого разума". Кант настаивал на том, что математическое знание имеет другую природу, отличную от естественных наук, - не эмпирическую, но априорную. "Математика дает нам блестящий пример того, как далеко мы можем продвинуться в априорном знании независимо от опыта"². Математика играет совершенно особую роль в познании еще и потому, что математические знания "с древних времен обладают достоверностью и этим открывают возможность для развития других [знаний], хотя бы они и имели совершенно иную природу. К тому же, находясь за пределами опыта, можно быть уверенным в том, что не будешь опровергнут опытом"³ Для того чтобы математика могла играть роль такого рода фундамента познания, она сама должна быть непротиворечивой и строго обоснованной.

"доказательства" или "антиномии чистого разума", приведенные Кантом, на основании которых он и делал вывод о невозможности помыслить пространство и время, поскольку они в одно и тоже время и ограниченны и неограниченны, были подвергнуты Гегелем очень жесткой критике⁴. Но это не изменило общего отношения к математике ни у самих математиков, ни у философов, и через полстолетия после Канта представление о математике как о независимом и достоверном источнике истины постепенно укрепилось и в более широком общественном сознании. Математика, исходя из трансцендентальных аксиом и следуя строгим самообоснованным правилам логического вывода, способна отделить истину от лжи. Гипотеза Канта стала аксиомой для дилетантов. "Не стану я, разумеется, перебирать на этот счет все современные аксиомы русских мальчиков, все сплошь выведенные из европейских гипотез; потому что что там гипотеза, то у русского мальчика тотчас же аксиома, и не только у мальчиков, но, пожалуй, и у ихних профессоров, потому что и профессора русские весьма часто у нас теперь те же русские мальчики. А потому обхожу все гипотезы" (14, 214). Гипотеза о независимости математики поставила результаты математических выводов как бы "над" и "вне" эмпирического опыта, и математика приобрела очень высокий, чуть ли не абсолютный авторитет в глазах не только русских, но и европейских профессоров. Да и сами математики первой половины XIX в. были убеждены, что внутренние проблемы - такие, например, как строгое понятие действительного числа или определение непрерывности - будут разрешены в ближайшее время. Хотя необходимо заметить, что такой беспечности и самоуспокоенности, как в физике конца XIX в., когда профессор физики мог спокойно заявить, что все уже разрешено и осталось только несколько частных задач, такого мертвого штиля в математике не было никогда.

То, что было внутренне-непротиворечивым и согласованным, то, что было строго выведено из безусловных оснований (аксиом, постулатов, основных или неопределимых понятий, которые в свою очередь возводились к априорному умозрению), получало статус независимой истины, независимой, в первую очередь, от эмпирического опыта, от реального положения в пространстве и времени. Достоевский напрасно упрекал именно "русских мальчиков" в том, что у них гипотезы превращаются в аксиомы. Это, к сожалению, верно по отношению к любому удаленному взгляду на теорию. Человек (или человечество) чаще всего либо целиком ее принимает и кладет кирпичиком в картину своего представления о мироздании, либо целиком ее отвергает.

Дилетанты в первой половине XIX в. почитали математику самой внутренне обоснованной дисциплиной и повторяли торжественные слова Канта о том, что во всякой науке ровно столько науки, сколько в ней математики. В то же время математики полностью отдавали себе отчет в том, например, что они очень нечетко представляют себе, почему возможны те или иные манипуляции с бесконечными множествами, в первую очередь, с бесконечными суммами (рядами). (Например, с таким знакомым со школьной скамьи объектом как бесконечно-убывающая геометрическая прогрессия - даже здесь было много сомнительных допущений, хотя формулой суммы этой прогрессии уже вовсю пользовались несколько столетий.) Но успехи математики -в первую очередь ее приложений в астрономии и механике - были столь впечатляющи, что не доверять ей было очень трудно. И когда математические исследования из каких-то, казалось бы, внутренних потребностей привели к переформулированию геометрии Евклида, это вызвало, с одной стороны, удивление и сопротивление, а с другой - почти благоговение: математика перестала считаться с реальностью вообще. Она более всего занята собой - она автономна, а, следовательно, независима от конечного реального мира. Математика демонстрировала мощь и независимость языка - языка способного, развиваясь только по законам внутреннего построения высказывания, выводить истины реального мира - т. е. выяснять, что же в этом реальном мире соответствует высоким и чистым законам истинного бытия. И потому у Достоевского, хорошо знакомого с языком математики, не могло не возникнуть подозрения, что этот язык способен доказать (или по крайней мере строго и согласованно поставить формальную задачу), что есть Истина. И Достоевский не мог исключить возможность, что это доказательство обойдется без Христа. Достоевский пишет в письме к Фонвизиной: "... если б кто мне доказал, что Христос вне истины, и действительно " (28_1э 176. - Выделено Достоевским). Достоевский хочет остаться с Христом, но сделать это ему будет очень трудно, если он столкнется с математическим доказательством, которое строго обоснует, что Истина в Христе не нуждается. Это будет трудный выбор, причем не абсолютно однозначный: "... мне лучше хотелось бы остаться со Христом" -это всего лишь условное, гипотетическое утверждение. А Достоевский допускает существование такого доказательства: с его точки зрения оно вполне может быть найдено. В статье "Социализм и христианство" Достоевский пишет: "Социалисты хотят переродить человека, освободить внешних причин, а не иначе как от перемены нравственной. Раньше не оставит Бога, как уверившись математически..." (20, 171-172. -

Математика для Достоевского обладает свойством внутренней полной убедительности. Математическое доказательство не есть "внешняя причина", поскольку она способна продемонстрировать ("вывести" - буквально "вывести из темноты") структуру бытия. Это очень сильное допущение. Сделав его, Достоевский не мог не попробовать самостоятельно провести это математическое доказательство - доказать (или опровергнуть) то, что истина вне Христа. Конечно, писатель не обладал тем математическим аппаратом, который использовали современные ему математики в своих исследованиях переднего края науки. Но Достоевский очень чутко ощущал проблематику, к которой подходила математическая мысль. В первую очередь это - исследование оснований математики: геометрии пространства и теории актуально-бесконечных множеств, выяснение того, насколько математическая наука на самом деле строгая дисциплина.

ЕВКЛИДОВ УМ

Достоевский самостоятельно предпринимает доказательство того, что Истина может обойтись без Христа, причем доказательство математически строгое (насколько это возможно без использования специальной символики и терминологии), в основном в трех главах романа "Братья Карамазовы" - "Братья знакомятся", "Бунт" и "Великий инквизитор".

«... если Бог есть и если Он действительно создал землю, то, как нам совершенно известно, создал Он ее по эвклидовой геометрии, а ум человеческий с понятием лишь о трех измерениях пространства. Между тем находились и находятся даже и теперь геометры и философы, и даже из замечательнейших, которые сомневаются в том, чтобы вся вселенная или, еще обширнее -всё бытие было создано лишь по эвклидовой геометрии, осмеливаются даже мечтать, что две параллельные линии, которые, по Эвклиду, ни за что не могут сойтись на земле, может быть, и сошлись бы где-нибудь в бесконечности. Я, голубчик, решил так, что если я даже этого не могу понять, то где ж мне про Бога понять.

думать, друг Алеша, а пуще всего насчет Бога: есть ли Он или нет? Всё это вопросы совершенно несвойственные уму, созданному с понятием лишь о трех измерениях. Итак, принимаю Бога, и не только с охотой, но, мало того, принимаю и премудрость Его, и цель Его, нам совершенно уж неизвестные, верую в порядок, в смысл жизни, верую в вечную гармонию, в которой мы будто бы все сольемся, верую в Слово, к которому стремится вселенная и которое Само "бе к Богу" и которое есть Само Бог, ну и прочее и прочее, и так далее в бесконечность. Слов-то много на этот счет наделано. Кажется, уж я на хорошей дороге - а? Ну так представь же себе, что в окончательном результате я мира этого Божьего - не принимаю и хоть и знаю, что он существует, да не допускаю его вовсе. Я не Бога не принимаю, пойми ты это, я мира, Им созданного, мира-то Божьего не принимаю и не могу согласиться принять. Оговорюсь: я убежден, как младенец, что страдания заживут и сгладятся, что весь обидный комизм человеческих противоречий исчезнет, как жалкий мираж, как гнусненькое измышление малосильного и маленького, как атом человеческого эвклидовского ума, что, наконец, в мировом финале, в момент вечной гармонии, случится и явится нечто до того драгоценное, что хватит его на все сердца, на утоление всех негодований, на искупление всех злодейств людей, всей пролитой ими их крови, хватит, чтобы не только было возможно простить, но и оправдать всё, что случилось с людьми, - пусть, пусть это всё будет и явится, но я-то этого не принимаю и не хочу принять!» (14, 214-215).

Это - главная цитата для любых размышлений о математических мотивах в "Братьях Карамазовых". Здесь формулируется определенная аксиоматика и утверждается, что объектом исследования станет только и исключительно имманентный -замкнутый в себе - мир. Фактически Бог интересует Ивана Федоровича в данном случае не больше, чем боги интересовали Эпикура - пусть живут себе на Эмпиреях и хорошо себя чувствуют, но к земным делам они касательства не имеют, да и подпускать их сюда не следует. Создали мир - и спасибо. Отдыхайте.

Рассуждения Ивана основываются в первую очередь на уверенности в том, что человек способен создавать аксиоматики -системы безусловных предпосылок, из которых все остальное дедуктивно следует. На самом деле, существование многих и различных систем аксиом совершенно неочевидно. Во всяком случае и Евклид, и Кант были убеждены, что аксиомы создает не человек, а Творец, а роль человека куда более скромная - эти аксиомы попробовать выяснить (априорно или эмпирически). Первым человеком, который сознательно пошел на создание новой системы геометрических аксиом (а никаких других явно выраженных аксиоматик в тот момент просто не существовало в математике), был Николай Лобачевский (1793-1856). Он усомнился в правоте евклидовой геометрии, которая строилась как идеальный образ реального пространства. Но пространство - только одно, его познание (по Канту) - априорно, и, значит, может существовать только одна верно описывающая его геометрия. Лобачевский предпринял попытку доказать, что геометрия Евклида верна не всегда, а только для небольших масштабов измерений. В своей работе "О началах геометрии" (1829) Лобачевский оценивает отклонение суммы углов от 180° в треугольнике, образованном неподвижной звездой (в одном из экспериментов это -Сириус) и двумя точками земной орбиты. (В геометрии Лобачевского в качестве той аксиомы, которая не верна для евклидова пространства, может быть принята и такая: сумма углов треугольника всегда меньше 180° - аксиома параллельных в варианте Лобачевского из этой аксиомы немедленно следует.) В экспериментах, выполненных Лобачевским, отклонения от евклидовой суммы - 180° оказались меньше, чем погрешность измерения. Масштаб оказывается слишком малым, чтобы проверить, какую же геометрию имеет реальное пространство. Но Лобачевский ставит вопрос о глубоком различии между геометрией как логической структурой и геометрией как отражением физической реальности. Он пишет в своей работе: "Новая (неевклидова) Геометрия, основание которой уже здесь положено, если и не существует в природе, тем не менее может существовать в нашем воображении и, оставаясь без употребления для измерений на самом деле, открывает новое, обширное поле для взаимных применений Геометрии и Аналитики"⁵.

Совершенно неслучайно разговор Ивана с Алешей начинается с рассуждений старшего брата о геометрии Лобачевского. Иван утверждает (следуя здесь Канту), что представление о пространстве у человека не является эмпирическим, а является априорным: Бог создал человека с представлением о трех измерениях пространства, а в качестве геометрии пространства и даже бытия утвердил - евклидову. Иван принимает это определение. Хотя почему эта истина лучше (или точнее) описывает мир, чем предположения "некоторых геометров и философов" о том, что параллельных линий просто не существует и две любые прямые всегда пересекаются? Ведь никто никогда не видел непересекающихся прямых линий - для этого потребовалось бы прогуляться в бесконечность и вернуться обратно. И, может быть, куда естественнее было бы согласиться с тем, что никаких параллельных прямых линий просто нет? Эмпирически - с точки зрения здравого смысла - само существование параллельных прямых - сомнительно. А мнение "некоторых геометров", пожалуй, что и более основательно⁶.

Сама возможность сомнения (можно, следуя Декарту, назвать его "методологическим"), возможность формулирования более чем одной системы аксиом, является в данном случае для Ивана крайне плодотворным прецедентом. И он приступает к формулированию своих аксиом - нравственных - и проверке их опытом. Его задача - построить непротиворечивую и основанную на своего рода априорной "очевидности" систему. Исследовать ее полноту, т. е. возможность применения (в данном случае - нравственной оценки) ко всем вообще событиям мира. Выяснить в процессе построения необходимость Христа в этой системе. Можно ли обойтись без гипотезы Бога, как это сделал Лаплас при описании Солнечной системы?

обычно и сегодня воспринимает обыденное сознание ("здравый смысл"): "Параллельные линии пересекаются". Но параллельные линии пересекаться не могут, потому что они параллельные, т. е. другими словами - непересекающиеся. Фраза "параллельные линии пересекаются" лишена смысла, поскольку утверждает в точности то, что параллельные - непараллельны. Лобачевский ничего такого, конечно, сказать не мог.

Пятый постулат Евклида можно сформулировать так (я привожу не оригинальную формулировку, которая была дана Евклидом в "Началах геометрии", а ее современное изложение): через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую параллельную данной. Лобачевский сформулировал этот постулат иначе, что и привело к созданию новой геометрии и в конечном счете к представлению о том, что аксиоматик, корректно описывающих реальное пространство, может быть более одной. Формулировка Лобачевского: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести бесконечно много прямых линий, параллельных данной. Ни о каком пересечении параллельных здесь речь не идет.

Но дело не в том, верно ли Иван формулирует аксиому геометрии Лобачевского. Иван берет аксиоматику Лобачевского, как бы говоря: вот пример создания новой аксиоматики, а я дам другой - в своей области - области нравственной. «Я хотел заговорить о страдании человечества вообще, но лучше уж остановимся на страданиях одних детей. Это уменьшит размеры моей аргументации раз в десять, но лучше уж про одних детей. Тем не выгоднее для меня, разумеется. Но, во-первых, деток можно любить даже и вблизи, даже и грязных, даже дурных лицом (мне, однако же, кажется, что детки никогда не бывают дурны лицом). Во-вторых, о больших я и потому еще говорить не буду, что, кроме того, что они отвратительны и любви не заслуживают, у них есть и возмездие: они съели яблоко и познали добро и зло и стали "яко бози". Продолжают и теперь есть его. Но деточки ничего не съели и пока еще ни в чем не виновны (...) Если они на земле тоже ужасно страдают, то уж, конечно, за отцов своих, наказаны за отцов своих, съевших яблоко, - но ведь это рассуждение из другого мира, сердцу же человеческому здесь на земле непонятное. Нельзя страдать неповинному за другого, да еще такому неповинному! (...) Дети, пока дети, до семи лет например, страшно отстоят от людей: совсем будто другое существо и с другою природой» (14,216-217). Иван начинает с утверждения абсолютных истин, он рассматривает предельный, пограничный случай. Его аксиомы таковы: во-первых, дети - невинны: они яблоко не съели, во-вторых, справедливость в мире должна быть -"нельзя страдать неповинному за другого" и должна торжествовать немедленно - сейчас и здесь, а не в бесконечности. В мире должно быть адекватное имманентное воздаяние за всякий благой и преступный поступок. Мир, в котором не выполняется хотя бы один из этих постулатов, внутренне противоречив и не достоин существования. При этом Иван поступает именно как математик - он рассматривает мир (бытие, пространство) как замкнутую систему, которую можно описать, перечислив набор аксиом и указав логически корректные правила вывода. Ум Ивана, вопреки его словам, совсем неевклидов. "Эвклидов ум" не может рефлексировать по поводу собственной евклидовости. Иван уже отравлен сомнением в единственности евклидова описания пространства. А для этого необходимо осознавать возможность (хотя бы теоретическую) другого, неевклидова варианта⁷.

Структура доказательства невозможности принятия "Божьего мира", которое проводит Иван, в общих чертах такова: мир -Земля, "пропитанная слезами от коры до самого центра", -абсурден, потому что страдают невинные дети. Невинность детей делает невозможным адекватное наказание. В каждом из приводимых Иваном примеров наказание не соответствует преступлению. Замученный жизнью швейцарский пастух, с детства досыта не евший, за убийство, совершенное ради добычи пропитания, приговорен к смерти. И он еще должен благодарить своих мучителей, которые, кроме того что казнят его, еще и убеждают, что это они его просветили и открыли Бога, и научили читать молитву. Они омерзительны, потому что используют этого несчастного для самоутверждения и самолюбования. Где справедливость? Ее нет. Но это еще куда ни шло. Все-таки убийство - за убийство. Другие примеры Ивана еще более вопиющи: родители, которые мучают своего ребенка за то, что он страдает недержанием мочи. Запирают ребенка в отхожем месте, бьют, а никакого вмешательства Бога не происходит. Вина ребенка есть - но разве это вина? И разве за такую вину можно так наказывать? И последний пример, который Иван приводит как абсолютное доказательство абсурдности имманентного мира. Мальчик, который зашиб ногу любимой гончей барина, растерзан за это собаками на глазах матери. "Генерала, кажется, в опеку взяли. Ну... что же его? Расстрелять? Для удовлетворения нравственного чувства расстрелять? Говори, Алешка!

- Расстрелять! - тихо проговорил Алеша, с бледною, перекосившеюся какою-то улыбкой подняв взор на брата.

- Я сказал нелепость, но...

- То-то и есть, что но... - кричал Иван. - Знай, послушник, что нелепости слишком нужны на земле..." (14, 221).

Помещика взяли в опеку, но разве этого достаточно? Справедливости нет, потому что не может быть - потому что есть абсолютное преступление - преступление против абсолютно невинного - против ребенка, преступление, за которое не бывает наказания, поскольку любое наказание неадекватно, никакое наказание не уравновешивает на человеческих весах совершенное беззаконие.

Преступление за которое "Расстрелять?" - "Расстрелять", -отвечает Алеша - и произносит ключевое слово "Нелепость". Да ведь и расстрелять недостаточно, и собаками затравить тоже мало, а тут в опеку взяли...

"нелепость" не только потому, что в той нравственной системе, в которой он и живет, слово "расстрелять" приводит к внутреннему противоречию - к отрицанию заповеди "не убий", а вывод, который противоречит аксиоме и есть "нелепость" в чистом виде. Но нравственная аксиоматика, которая строится на Нагорной проповеди и не могла бы привести к тем выводам, к которым пришел Иван. Нелепость, осознанная Алешей, есть еще и нелепость оказавшаяся результатом рассуждений самого Ивана. Алеша эту нелепость видит и ее констатирует.

"Нелепости слишком нужны на земле". Конечно, нужны. Без них, например, Иван просто не смог бы доказать своего рассуждения. Словом "нелепость" или "противоречие" заканчиваются математические теоремы, которые доказываются методом приведения к абсурду (reductio ad absurdum).

Уже в XX в. Давид Гильберт во время методологического спора с Брауэром, в котором он отстаивал закон исключенного третьего - тот самый закон, который и лежит в основании способа доказательства приведением к абсурду, сказал: "Изъять из математики принцип исключенного третьего, все равно, что запретить боксеру пользоваться кулаками"⁸. Великий математик (в отличие от Брауэра, например) не сомневался, что нелепости или противоречия очень нужны на земле, но был убежден, что они должны преодолеваться и приводить к построению полной и непротиворечивой теории.

Схема доказательства приведением к абсурду такова: для того чтобы доказать некоторое утверждение А, мы предполагаем, что верно отрицание А - утверждение не А. Если, сделав такое предположение, мы придем к противоречию, т. е. к "нелепости", - мы считаем утверждение А доказанным. Если не А неверно, то верно А. Из нелепости вывода, следует неверность посылки, а значит - верность ее отрицания. "Но...", - говорит Алеша, "То и есть, что но...", - кричит Иван. Он считает, что доказал абсурдность мира, построенного на его аксиомах. Но ведь гораздо разумнее предположить, что аксиомы неверны (или противоречивы)! Так поступает математик - он говорит: значит верно обратное. А что обратное? Дети также виновны, как и взрослые, также грешны? В мире нет справедливости и быть не может? Но ведь все это происходит на наших глазах, и мальчика и его мать смертельно жаль. Обратное - это фундаментальное отрицание имманентной справедливости, невозможность так обустроить этот мир, чтобы в нем справедливость торжествовала. Этот мир противоречив, негармоничен. Иван блестяще доказывает противоречивость принятых им аксиом. Как только Алеша пытается привести свои аргументы, Иван их отвергает не слушая. Причина его отказа слушать Алешу ясна: аргументы Алеши имеют неимманентный характер, а Иван строит замкнутую модель, где нет места трансцендентному вмешательству. Конечно, тем самым Иван опровергает не христианство, а язычество, и не только античную уверенность в возможности справедливого, равновесного и гармонического мира, но и экономическую религию будущего коммунизма.

"при факте", т. е. согласен чисто эмпирически регистрировать происходящее, не придавая ему никакого обобщающего смысла. Вывод, которого Иван не делает явно, но который однозначно следует из его же доказательства: никаких имманентных нравственных аксиом быть не может. Именно это и утверждает Иван своей максимой о слезе ребенка. "Представь, что это ты сам возводишь здание судьбы человеческой с целью в финале осчастливить людей, дать им наконец мир и покой, но для этого необходимо и неминуемо предстояло бы замучить всего лишь одно только крохотное созданьице, вот того самого ребеночка, бившего себя кулачон-ком в грудь, и на неотомщенных слезках его основать это здание, согласился ли бы ты быть архитектором на этих условиях, скажи и не лги!

- Нет, не согласился бы, - тихо проговорил Алеша.

- И можешь ли ты допустить идею, что люди, для которых ты строишь, согласились бы сами принять свое счастие на неоправданной крови маленького замученного, а приняв, остаться навеки счастливыми" (14, 223-224).

Алеша, как ему это ни трудно, принимает ту имманентную логику, которой следует Иван, хотя и считает что эта логика строится на неверных основаниях. Внутри этой логики Иван -прав. Но ему этого мало, он хочет абсолютной истины, его не устраивает картина разгрома, который он учинил. Иван хочет, чтобы в мире была справедливость, но справедливость посюсторонняя - явная, заключенная в конечных пределах пространства и времени⁹.

В рассуждениях Ивана есть внутренняя трещина, есть некорректность - он утверждает, что его аксиомы имеют характер абсолютного императива, но они утверждаются на относительном имманентном обосновании.

"при факте". При факте очевидного противоречия. Остаться при факте - это главная аксиома европейского позитивизма конца XIX - первой половины XX в. в лице Эрнста Маха или Бертрана Рассела, который заявил в своей дискуссии с епископом Коплстоном в ответ на вопрос: "В чем причина мира?"

"Коплстон. Тогда вы согласны с Сартром, что вселенная, как он это формулирует, беспричинна?

Рассел. Это слово предполагает, что вселенная могла быть другой. Я бы сказал, что вселенная просто есть, и все"¹⁰.

Мир просто есть. Рассел - это один из тех математиков, которые пришли к фундаментальным противоречиям в науке уже в начале XX в. И расселовское разрешение этих парадоксов, которые в конечном счете привели к созданию современной логики, не является до конца убедительным. В парадоксах Рассела математика пришла к противоречию в самых своих основаниях, но она от этих оснований не отказалась. Иван точно так же не отказывается от своей аксиоматики, несмотря на явное противоречие, им же продемонстрированное с последней убедительностью. Математика второй половины XIX столетия подошла к подробному и полному обоснованию и строгому доказательству своих собственных основ. И одним из главных прорывов на этом пути стала теория множеств Георга Кантора, о которой великий математик Давид Гильберт (1862-1943) сказал, что эта теория -одно из высочайших достижений человечества. Но именно формализация бесконечности, предпринятая Кантором, его теория множеств и понятие трансфинитного числа обнажили множество парадоксов. Позитивизм, который тоже решил "остаться при факте", актуальной бесконечности, чреватой парадоксом, не принял.

Главный вывод, который делает из своих предельно острых рассуждений Иван Карамазов: человек должен и может переустроить мир, потому что мир основан на определенной этической аксиоматике, на принятом наборе заповедей. Человек имеет право формулировать нравственные аксиомы и заставлять других следовать этим заповедям.

Когда мы исследуем природу при помощи естественных наук, мы всегда исходим из предположения, что мир существует и единственен. Из этого, в частности, следует, что мир в одной точке пространства обладает одной геометрией (и любая другая геометрия будет гипотетической). В современной науке возникают теории, согласно которым эта геометрия может зависеть от масштаба. Например, на расстояниях порядка планковской длины (1О-³³ см) геометрия пространства может быть существенно отлична от глобальной геометрии макромира. На малых расстояниях метрика не определяется - она флуктуирует, и пространство может выглядеть как пространственно-временная пена, по выражению американского физика Дж. Уилера. Но даже если метрика зависит от масштаба, все-таки она одна и та же для данной точки пространства и для одних и тех же условий наблюдения.

Эта единственность - основополагающая аксиома научного познания. Мы хотим знать, как устроен мир, потому что знаем, что каким-то единственным образом он обязательно устроен и его устройство доступно наблюдению и, следовательно, познанию, поэтому картина мира однозначна и определима.

Но естественнонаучный взгляд на мир не является единственным. Как только мы переходим к другим методам познания -например, к искусству, закон существования и единственности уже не выполняется. Искусство может относиться к одному и тому же элементу мира по-разному и может видеть разное. И все описания могут быть достоверными. Эстетическое отношение к миру принципиально многозначно, и существует неограниченно много точек зрения различных наблюдателей, и все они равноправны и верны.

не единственен и многозначен.

Каково положение дел в этике? Именно этот вопрос интересует Ивана Карамазова. Во-первых, он показывает, что для него мир не существует, или в том виде, в котором мироздание дано восприятию, оно существования недостойно. Для того чтобы мир имел право на существование, он должен быть устроен справедливо. Но в нем нет имманентных (а другие Ивана не устраивают) законов справедливости. Из этого немедленно следует заповедь этического релятивизма "Все позволено". Впрочем, лучше назвать это не заповедью, а именно аксиомой. Заповедь - это ограничение, "аксиома" происходит от греческого слова axios -"ценность", а "Все позволено" - это и есть единственная ценность в мире, существование которого определяется этическим релятивизмом. Припасть к кубку и пить до тридцати лет, или даже до семидесяти, чтобы потом оторваться и обрести за гробом только смерть. Ивану такого рода этический релятивизм не очень нравится, но он согласен остаться при факте: мир либо не существует, либо его существование сводится к несвязанному набору утверждений - он лишен внутреннего смысла, лишен совести, абсурден. Вполне закономерно, что исходя из той же аксиоматики, что и Иван, к точно таким же выводам пришел Альбер Камю, например, в "Мифе о Сизифе".

Каково отношение математики к миру с точки зрения его существования и единственности объекта изучения? Кант, вынося математику за скобки эмпирических (экспериментальных, частных) знаний, придал ей особый статус - науки об априорных "в строжайшем смысле всеобщих" знаниях. Эта свобода от эмпирики поставила математику в совершенно особое положение. Ее утверждения не всегда можно и не обязательно нужно проверять экспериментом. Ее утверждения получают статус истинности, исходя из внутреннего обоснования. Это привело к тому, что в математике стали развиваться и конкурировать различные языки описания одних и тех же объектов, и если в начале XIX в. еще обязательно делались отсылки к реальной природе, то очень скоро такие ссылки стали необязательными - достаточным подтверждением теории стала рассматриваться ее применимость в другой, желательно удаленной области той же математики. Например, самым убедительным подтверждением геометрии Лобачевского стало применение ее в теории автоморфных функций Анри Пуанкаре в 1882 г. То есть математика обосновывает себя в том числе и собственной целостностью и единством идей. Но при этом она свободно экспериментирует с языком и выстраивает различные модели. Все-таки главное - это внутренняя непротиворечивость, а насколько утверждения содержательны -это вопрос второй.

Иван идет именно по пути математического рассуждения, выстраивая свою модель идеального мира - того мира, который может существовать. То есть в нем есть внутренний смысл (содержание), и он согласован и непротиворечив. Это - модель, которую формулирует Великий Инквизитор.

Для того чтобы мир существовал и в нем мог существовать человек, необходимы те же этические постулаты, что и в научной картине мира: этическая форма бытия должна существовать и должна быть единственной. В поэме о Великом Инквизиторе Иван исследует вариант "двойной морали". То есть "мирного" сосуществования двух аксиоматик внутри одного бытия. Эта форма является необходимой, потому что человечество не готово (да и не будет никогда готово) принять ту трансцендентную свободу, которая ей дана в христианстве. Поэтому модель "двойной морали" является наименьшим злом - при любом другом варианте человечество просто себя уничтожит. Людей необходимо защищать и от самих себя, и от свободы, и неизвестно, что для них страшнее.

роль экспериментального поля, на котором он исследует этические модели. Математика обладает внутренней непротиворечивостью и всеобщностью. Искусство обладает образной убедительностью. Владимир Успенский, анализируя аксиоматику натурального ряда и перечисляя возникающие трудности, приходит к любопытному выводу: «... термин "доказательство" - один из самых главных в математике - не имеет точного определения. А приблизительное его определение таково: доказательство - это убедительное рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью мы способны убеждать других» ("Семь размышлений на темы философии математики")¹¹. Замечу, что речь идет именно о математической логике, т. е. о самой строгой части математики. Иван использует "убедительную демонстрацию" в тех же целях - он доказывает свое этическое построение.

И Спиноза, и Декарт, и Лейбниц, и Шеллинг предпринимали попытки сведения философского рассуждения к математической форме. Можно вспомнить попытки выработки универсального языка - алгебра Декарта - и попытки применения этого языка к философии, или теоремы "Этики" Спинозы, или "Философии искусства" Шеллинга. Они всегда выглядят не слишком убедительно. Сама по себе математизированная форма не дает еще права на утверждение от имени математики и опоры на нее. По существу все утверждения доказываются вполне философски. Это связано, в первую очередь, с тем, что объекты, которыми оперируют философы, - содержательны. Их описание не сведено к чистой форме, что в математике обязательно - поскольку математическое доказательство корректно и обоснованно только для формальных объектов. А если в доказательство включается содержательная интерпретация, это сразу приводит к парадоксу. Как, например, в высказывании "Я лгу". Если мы попытаемся приписать этому высказыванию значение "истина" или "ложь" и при этом не абстрагируемся от самого говорящего, и кроме формальной ложности включим в рассмотрение содержательную - т. е. выраженную не в самом высказывании, а выраженную высказывающим утверждение - мы сразу попадем в круг парадокса. Искусство (в отличие от философии) к математике никогда не прибегало. (За единственным, может быть, исключением - рисунков Мориса Эшера.) Поскольку как раз искусство, в точности так же, как и математика, оперирует формальным в объекте - т. е. в точности только тем, что есть в высказывании, только тем, что оговорено в тексте или условии. Ничего другого читатель, вообще говоря, не знает. Если он и домысливает нечто содержательное - оно уже за пределами текста и автор за это ответственности не несет. Иван использует эстетическое доказательство этической теоремы. Он проводит формальную демонстрацию (не доказательство, конечно, а "показательство"). И эта демонстрация оказывается предельно убедительной.

Начинает Иван опять-таки с допущения. Если в доказательстве невозможности существования мира он допускал существование справедливости (и пришел к фундаментальному противоречию с "невинностью детей"), то теперь он допускает существование абсолютной свободы, при этом свободы, имеющей трансцендентную санкцию. Великий инквизитор встречается с Христом. То есть получает предельно конкретное, воплощенное подтверждение трансцендентной свободы.

Что доказывает инквизитор? Во-первых, ненужность этой свободы, ее избыточность для такого ограниченного существа, как человек. Во-вторых, возможность реализации другой, более простой и понятной подавляющему большинству (кроме "ста тысяч страдальцев", знающих истину) морали. Это пример социального эксперимента, причем в самом его жестком виде. Так, в социальном эксперименте, поставленном в Советском Союзе, его руководители все-таки разделяли "классовую мораль" своих граждан, и эта "мораль" имела вполне имманентный характер. Главные инструменты великого инквизитора - хлеб; чудо, тайна и авторитет; всемирная власть, которая объединяет в себе контроль над хлебом земным и выдает суррогат хлеба небесного. Христос эти инструменты отверг, а вот Великому Инквизитору они вполне подошли, и он утверждает, что только с их помощью и возможно построить справедливое по земным меркам, равновесное - устойчивое общество.

котором живут избранные, это - мир, основанный на абсолютной аксиоматике свободы, это трудный мир, в частности, потому что он принципиально неимманентен - он требует непрерывного усилия веры. Но избранные могут построить для большинства замкнутый и непротиворечивый легкий мир, где свободу заменит вера в тайну и авторитет. Избранные формулируют аксиомы, правила вывода и язык описания для мира, в котором живет большинство. При этом избранные оперируют высказываниями на метаязыке по отношению к логике масс. И потому логика большинства может быть выстроена полностью корректно и непротиворечиво - она сможет быть сведена к исчислению синтаксически правильных высказываний, которые основаны на данных избранными аксиомах, но сами эти аксиомы на языке масс не выводимы - они абсолютны. Как показало развитие логики уже в XX в., в частности работы Черча¹², именно такая структура логики позволяет избавиться от внутренних противоречий. Сам метаязык также может быть формализован, но для его описания потребуется язык еще более высокого уровня и т. д. Иван предлагает не строить башню логик, уходящую в дурную бесконечность, а сформулировать абсолютную аксиоматику и на ней выстроить систему языков своего рода методом спуска.

Это та единственная форма мира, которую Иван соглашается гипотетически принять. Для того чтобы мир был хорошо упорядочен, достаточно, чтобы существовало определенное внутреннее сообщество, которое хранит его базовые ценности. Существование этической элиты будет гарантировать лучший выбор из многих по-разному плохих. Для локальных целей может подойти и какая-либо вполне имманентная аксиома, например -вера в прогресс, или в коммунистическое завтра.

в ней не будет верных высказываний или все высказывания будут верны), она не сможет описать тот ограниченный мир, для которого строится. Но как бы глубоко и полно ни была проработана имманентная аксиоматическая система, она все равно даст трещину, поскольку однажды кто-то громко спросит - а почему, собственно, выбраны эти основания, а не другие? Этот вопрос при выборе имманентной аксиоматики рано или поздно все равно возникнет, но на определенных отрезках времени (иногда довольно продолжительных) элита способна не то что убедительно отвечать на него, но создавать условия, в которых сама постановка вопроса невозможна.

Система, предложенная Великим Инквизитором, обладает целым рядом преимуществ по сравнению с любой, построенной на имманентных аксиоматиках. Она полна, непротиворечива и устойчива. И устойчивость ее определяется именно трансцендентным обоснованием. Поэтому-то не важно, кто именно -персонально - является хранителем тайны или истины. Не важно, какие формы принимает социальное устройство - или вполне социалистическое, или по внешним признакам почти либеральное. Это - теократия. Причем основным компонентом власти является монополия на истину и ее интерпретацию. Это очень сильная схема, но она требует принятия трансцендентности - простыми словами - веры в Бога. Никакое атеистаческое общество не может быть построено на подобной рациональной схеме. Примером такого рода теократии могут служить сегодняшний Иран и некоторые другие мусульманские государства. Это - вера без свободы. Это - исчерпывающий ответ на любой вопрос. Потому что вопросы, не имеющие ответа, задавать запрещено. Это - эксплуатация веры, перевод ее из сферы свободного познания в структуру подчинения. Силу такого рационального построения государства уже ощущают на себе западные государства (во многом атеистические). Атака мусульманского мира может быть очень тяжелой для Европы именно в силу того, что в основу власти положена формула Великого Инквизитора. Это и есть истина без свободы, истина без Христа. 11 сентября 2001 года мы все узнали, как страшно она может выглядеть. Но оторвать взгляд от экрана телевизора было невозможно - это зрелище было чудовищно и прекрасно.

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЛОГИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Иван не ограничивается одной чистой теорией. Он реализует свою утопию на практике. Иван как бы выписывает общее уравнение, а поиск его частного решения он предоставляет Смердя-кову. Иван "прельщает" Смердякова строгостью и последовательностью своих рассуждений и обобщений.

Математика обладает своей внутренней логикой, у нее есть алгоритмическая обязательность. После того как уравнение выписано, его можно решать только определенным способом. И искать решение может любой, вовсе не обязательно автор. Полученное решение может и вовсе оказаться неприятным для создателя, и последствия могут оказаться противоречащими его желанию¹³"подставляет" известные ему конкретные значения в предложенную Иваном схему и приходит к однозначным выводам. Эта "автоматичность" и ведет Смердякова. У него нет мощного, неевклидовско-го ума, который есть у Ивана. Но у Смердякова достаточно соображения, чтобы последовать начерченной схеме, чтобы сделать для себя самого однозначные выводы. Смердяков говорит Ивану: "... на вас все мое упование, единственно как на Господа Бога-с!" (15, 44). То есть построения Ивана для Смердякова - трансцендентная аксиоматика. В этом частном случае Иван - избранный, а Смердяков - неразумное большинство, совершенно растерявшееся, утратившее всякую связь с действительностью и смысл происходящего.

Смердяков доказывает (он обращается к Григорию, но говорит, конечно, для Ивана) ненужность веры и невозможность ответственности за предательство. Он приводит пример попавшего в плен к туркам солдата, который отказался принять ислам и был подвергнут тяжкой пытке и казни. Смердяков задает вопрос: "А велик ли грех отказаться от Христа в такую минуту?" (В рассуждении Смердякова дальше становится ясно, что это не грех в любую минуту.) Вроде бы хуже греха и не бывает, чем предательство собственной веры. Но Смердяков строит "контраверзу": «... едва только я скажу мучителям: "Нет, я не христианин и истинного Бога моего проклинаю", как тотчас же я самым высшим Божиим судом немедленно и специально становлюсь анафема проклят и от Церкви святой отлучен совершенно как бы иноязычником, так даже, что в тот же миг-с - не то что как только произнесу, а только что помыслю произнести, так что даже самой четверти секунды тут не прой-дет-с, как я отлучен...» (14, 118); "... в самое то время, как я Богом стану немедленно проклят-с, в самый, тот самый высший момент-с, я уже стал всё равно как бы иноязычником, и крещение мое с меня снимается и ни во что вменяется..." (14, 119). И "заключает" Смердяков так: «А коли я уж не христианин, то, значит, я и не солгал мучителям, когда они спрашивали: "Христианин я или не христианин", ибо я уже был самим Богом совлечен моего христианства, по причине одного лишь замысла и прежде чем даже слово успел мое молвить мучителям. А коли я уже разжалован, то каким же манером и по какой справедливости станут спрашивать с меня на том свете как с христианина за то, что я отрекся Христа, тогда как я за помышление только одно, еще до отречения, был уже крещения моего совлечен? Коли я уж не христианин, значит, я и не могу от Христа отрекнуться, ибо не от чего тогда мне и отрекаться будет. С татарина поганого кто же станет спрашивать» (14, 119).

Это - проповедь полного нравственного релятивизма. Я - тот, который есть сейчас, не несу никакой ответственности за того, каким я был секунду назад. С меня нельзя спрашивать за поступки того, кем я был.

Это довольно тяжелое положение. Если я не несу никакой ответственности за поступки, совершенные мной же, но как бы другим мной, секунду назад, я не только распадаюсь на моменты существования, но я не могу наследовать самому себе. Я ничего не могу собрать: как только попробую поднять камень - тот, что в руке, непременно выроню. Так он у меня всегда один и будет. Мне нужна точка сборки. И этой точкой для Смердякова оказывается именно Иван - человек, который его полностью покоряет, ради которого он готов на все, потому Иван возвращает ему собственную идентичность.

То, что является для Ивана гипотезой, оказывается для Смердякова - аксиомой. То, что Иван рассматривает как одно из возможных решений, - Смердяков принимает как руководство к действию. Смердяков и сам творчески развивает учение Ивана. Например, доказывая Григорию, что вера или отсутствие веры -это одно и тоже, поскольку на самом-то деле подлинной веры нет ни у кого, "кроме разве какого-нибудь одного человека на всей земле, много двух, да и то, может, где-нибудь там в пустыне египетской в секрете спасаются, так что их и не найдешь вовсе" (14, 120).

Хотел ли Иван, чтобы из его высокотеоретических размышлений были сделаны именно такие выводы, которые привели к убийству его отца и трагедии безвинно осужденного брата? Даже если и не хотел, он несет за это ответственность. Потому что именно он создал то теоретическое обоснование, которому последовал Смердяков. Потому что четкая схема, которая была задумана Иваном и реализована Смердяковым, стала той формой, в которую неизбежно вылился и застыл в форме приговора хаос, поднятый вокруг себя Митенькой.

ПАРАДОКС СУДЬИ

Главка "Можно ли быть судиею себе подобных? О вере до конца" начинается словами старца Зосимы, которые я назову "парадоксом судьи": "Помни особенно, что не можешь ничьим судиею быти. Ибо не может быть на земле судья преступника, прежде чем сам сей судья не познает, что и он такой же точно преступник, как и стоящий пред ним, и что он-то за преступление стоящего пред ним, может, прежде всех и виноват. Когда же постигнет сие, то возможет стать и судиею. Как ни безумно на вид, но правда сие" (14, 291).

Рассмотрим еще раз "Парадокс лжеца". Высказыванию "Я лгу" нельзя разумно приписать значение "ложь" или "истина". Пусть это высказывание истинно. Тогда - оно ложно, поскольку утверждает именно собственную ложь. Пусть оно -ложно, тогда оно истинно, поскольку утверждает отрицание собственной ложности. Это классический пример парадоксального утверждения.

"Я виновен" - центральное для парадокса судьи, потому что Зосима требует признания собственной вины как необходимое и достаточное условие для того, чтобы судить других. Высказывание "Я виновен" - также парадоксально с точки зрения деонтической логики (или логики норм).

Деонтическая логика (или логика норм) принадлежит к одному из вариантов модальной логики и строится по аналогии с традиционными Аристотелевыми модальностями (алетически-ми): возможно, невозможно и необходимо¹⁴.

В логике норм рассматриваются деонтические модальности "позволено" (Р), что соответствует алетической - "возможно": "запрещено" (F), что соответствует алетической - "невозможно" и "обязательно" (О), что соответствует алетической - "необходимо". Модальности "позволено", "запрещено" и "обязательно" являются взаимно определимыми логическими операторами. Так, запрещение является отрицанием позволения или в принятых нами обозначениях: F = не Р, где "не" - используется как знак логического отрицания, а знак "=" используется как знак логической эквивалентности.

Рассмотрим высказывание "Я виновен" с точки зрения деонтической логики. Высказывание "Я виновен" классифицирует некоторое совершённое (или совершаемое) мною действие как запрещенное. Но я не могу совершить действие, которое я себе совершать запрещаю. Я вполне могу совершить действие, которое мне запрещает другой (другие), - например, закон или правила общественного поведения, но не то действие, которое я запретил себе. Совершая некоторое действие, я тем самым отменяю собственный запрет (даже если он и был у меня). Высказывание "Я виновен" классифицирует некоторое действие как формально запрещенное и одновременно содержательно позволенное. Но это невозможно, так как запрещение является отрицанием позволения. Высказывание "Я виновен" имеет тот же парадоксальный характер, что и "Я лгу". В обоих парадоксах проблема состоит в том, что запрет и позволение (или истинность и ложность) сходятся как бы на диагонали - в точке "Я", и нормальные логические законы перестают работать. И высказывание "Я лгу", и высказывание "Я виновен" противоречат сами себе, и ни одному из них нельзя приписать логическое значение истинности или ложности - эти высказывания внелогичны. (Напротив, высказывания "Я говорю правду" или "Я невиновен" вполне логичны - им можно приписать логическое значение.) Именно в силу того, что высказывание "Я виновен" некорректно, логически выверенное правосудие не принимает самообвинения, оно строит такую правую систему, в которой работает высказывание "Он виновен" или "Он невиновен", и следит за тем, чтобы тот, кто выносит приговор, не был замешан в деле, которое он призван судить.

Но откуда же тогда возникает у человека чувство собственной вины и угрызения совести? Почему он классифицирует некоторые свои действия как запрещенные?

"конроверза" состоит в том, что человек может не сохранять во времени собственную идентичность. Тот, кто отрекся от Христа, уже не может быть осужден как отступник, поскольку вышел из области "юрисдикции" христианства. Смердяков совершенно последователен - в его логической системе утверждение "Я виновен" не может возникнуть.

Во-вторых, суждение "Я виновен" возникает всегда постфактум. "Я вчера (или секунду назад) совершил поступок, который сейчас классифицирую как запрещенный". Но, в отличие от логики Смердякова, если я сохраняю свою идентичность, я по-прежнему несу ответственность за себя в прошлом. Это смещение во времени дает человеку сегодняшнему осудить себя вчерашнего. Но человек уже ничего не может поправить - запретить совершенное действие он не в силах. Сегодняшний и вчерашний - это как бы два разных человека по отношению к модальности "позволения". И только в этом случае могут возникнуть угрызения совести и раскаяние. Логика не помогла Смердякову. Муки совести оказались объективной реальностью, реальностью настолько страшной, что Смердяков их не выдержал. Чтобы жить в таком разорванном внутри себя мире, нужно быть Великим инквизитором или, по крайней мере, Иваном Карамазовым. Это настолько тяжело, что для Смердякова оказалось непереносимо.

Старец Зосима предлагает фактически рассматривать не временной сдвиг, когда один и тот же человек меняется и меняются его модальности "позволения" и "запрещения", а как бы пространственное расширение. Если другой совершает поступок, который я считаю запрещенным, я не всегда могу ему помешать - запретить действие. Но только в том случае, когда я чувствую свою вину за поступок, совершенный другим, я получаю право судить, потому что судить я буду его и себя судом совести. И только такой суд допустим. "Как ни безумно на вид, но правда сие".

Внешний суд - суд закона - при всей его объективности и корректности очень часто приводит к судебной ошибке. Фетю-кович в своей речи очень логичен. Более того, он совершенно прав, когда говорит, что Митю осуждают как бы по совокупности улик. Конечно, Митю застали убегающим с места преступления; кровь на платке и сюртуке; деньги - эти неизбежные три тысячи, которыми Митя размахивает перед огромным количеством свидетелей; публичные обещания убить отца, в том числе письменное заверение, отправленное накануне Катерине Ивановне; орудие преступления - пестик, брошенный на дорожку; открытое окно в доме отца и открытая дверь (как утверждает Григорий). Неужели этого мало? Фетюкович говорит: мало.

Одна из аксиом деонтической логики - это дистрибутивность запрещения: & F{q), F - оператор запрещения; p и q - элементарные действия, v - логическое (объединительное) "или", & - логическое "и". То есть если мы классифицируем некоторое действие как запрещенное, а оно в свою очередь является логическим объединением некоторых элементарных действий (например, улик), то мы должны показать, что каждое элементарное действие также является запрещенным (естественно, внутри выбранного нами контекста). Фетюкович показывает, что ни одно из элементарных действий не является бесспорным, а многие утверждения прокурора так и просто сомнительны. Фетюкович - замечательный адвокат, он провел расследование куда лучше, чем прокурор. И что же в результате? "Мужички за себя постояли". "И покончили нашего Митеньку" (15, 178).

"мужички" (присяжные) чувствовали себя обиженными Митей, а потому имеющими моральное право его осудить, вне зависимости от того, что говорил адвокат, какой бы бесспорной логикой он не оперировал. Мужичкам не хватило того, о чем говорил старец Зосима, -им не хватило чувства собственной вины в совершенном преступлении.

ОБОСНОВАНИЕ БЫТИЯ БОГА

В статье Б. Федоренко "Математически о сближении параллельных, о Боге" приводится очень важный отрывок из "Записных тетрадей" Достоевского. Федоренко пишет: «И весьма условно и предварительно, и вслед за А. Г. Достоевской, мы говорим: Алеша, Алексей Карамазов в главном романе - человек, успевший "многое сделать и многое испытать в своей жизни". Для него, видимо, и назначал Достоевский в Записной тетради 1880-1881 гг. слова в записи, о которой упоминалось выше. Не Иван, но уже Алексей Карамазов занят попыткой математически сблизить истину и Христа...

"Если б где в мире был конец, то был бы всему миру конец. Параллелизм линий. Треугольник, слияние в бесконечности, одна квадрильонная все-таки ничтожность перед бесконечностью. В бесконечности же параллельные линии должны сойтись. Ибо все эти вершины треугольника все-таки в конечном пространстве, и правило, что чем бесконечнее, тем ближе к параллелизму, должно остаться. В бесконечности должны слиться параллельные линии, но - бесконечность эта никогда не придет. Если б сошлись параллельные линии, то был бы конец миру и геометрическому закону и Богу, что есть абсурд, но лишь для ума человеческого¹⁵.

Реальный (созданный) мир конечен, невещественный же мир бесконечен. Если б сошлись параллельные линии, кончился бы закон мира сего. Но в бесконечности они сходятся, и бесконечность есть несомненно. Ибо если б не было бесконечности, не было бы и конечности, немыслима бы она была. А если есть бесконечность, то есть Бог и мир другой, на иных законах, чем реальный (созданный) мир" (27, 43)»¹⁶ - математического обоснования бытия Бога. Поэтому очень возможно, что этот отрывок мог быть отнесен к словам Алеши Карамазова.

Самое важное утверждение последнее: "... если есть бесконечность, то есть Бог и мир другой, на иных законах, чем реальный (созданный) мир". Это вывод, который Достоевский пытается обосновать.

Необходимо здесь уточнить понятие "бесконечности". Со времени парадоксов Зенона Элейского (знаменитых "Ахиллес и черепаха", "Стрела" и др.) и того ответа, который дал на них Аристотель, стало понятно, что к бесконечности может быть два совершенно разных похода. Первый - это домашняя, вполне осязаемая или "потенциальная" бесконечность, которая выражается как неограниченное возрастание. К любому сколь угодно большому натуральному числу мы всегда можем прибавить единицу. Натуральный ряд неограниченно растет, но набор чисел, который мы имеем в наличии, всегда конечен. Аристотель настаивал на том, что только такая бесконечность и возможна. "Актуальная бесконечность" - взятая сразу как дерево или дом -как единая вещь, такая бесконечность внутренне противоречива. Собственно, Зенон это и продемонстрировал своим рассуждением о точке: отрезок никогда не может состоять из бесконечного числа точек - если точка не имеет размера, то сколько бы мы ни складывали нуль с нулем мы никогда не получим конечное число; если точка имеет размер - какой угодно малый, то бесконечное множество точек всегда имеет бесконечный размер, и опять-таки конечный отрезок мы не получим. Аристотель предложил рассматривать отрезок как неограниченно делимый: мы можем разделить любую его часть пополам, но всегда будем иметь в наличии только конечное число частей отрезка. Если Достоевский пишет: "Ибо если б не было бесконечности, не было бы и конечности, немыслима бы она была", - то Аристотель утверждал, что прямая в полном согласии с принципом потенциальной бесконечности - это неограниченно продолжаемый конечный отрезок. То есть бесконечная прямая была бы немыслима, если бы не было конечного отрезка. Но точка зрения Достоевского тоже имеет солидную традицию. Конечное как часть бесконечного (а не наоборот как у греков) впервые предложил рассматривать Николай Кузанский. Он исследовал актуальную бесконечность и, в частности, нашел такое ее свойство -собственная часть бесконечного множества может быть равна (или равномощна) целому. Например, если от бесконечного множества отнять любое конечное множество (хотя бы и такое большое, но конечное число элементов, как квадриллион в квадриллионной степени), мощность бесконечного множества не изменится. Это свойство только бесконечных множеств -для конечных оно очевидно неверно: в геометрии Евклида даже есть соответствующая аксиома "часть меньше целого". Актуально-бесконечные множества обладают другими, парадоксальными или абсурдными с точки зрения конечного мира свойствами.

Математики по-разному относились к актуальной бесконечности. Конечно, если это было возможно, они пытались ее избегать. Но с того момента, как начал развиваться анализ, все исчисление бесконечно-малых - и дифференцирование, и интегрирование - уже оперирует актуально-бесконечными множествами бесконечно-малых отрезков. Это такие отрезки, которые, с одной стороны, имеют бесконечно-малую длину (или меру), а с другой - их бесконечное суммирование дает конечное число. То есть это объекты, похожие на точки Зенона, но только он отказывался их признавать, а математики их приняли. Причем поначалу безо всякого строгого обоснования. Просто сказали: мы так будем считать - видите, получается правильно, значит так можно.

В XIX в. ситуация стала уже критической и несколько математиков предприняли попытку разобраться с тем, что же такое бесконечное множество. Одним из этих математиков был Георг Кантор. Ему принадлежит разработка теории множеств, которая легла в основу всего современного здания математики.

свидетельством бытия Бога. Кантор никогда не задавался вопросом: нельзя ли обойтись без актуальной бесконечности (как например, его современник и яростный оппонент Леопольд Кронекер). Кантор построил так называемую шкалу трансфинитных чисел - которые в отличие от финитных - обычных чисел - являлись значениями мощности бесконечных множеств. Так, например, мощность множества натуральных чисел (самая "маленькая" бесконечность) обозначалась первым символом еврейского алфавита - Алеф нуль.

Исследователь творчества Кантора В. Н. Катасонов пишет: "Кантор видел в шкале трансфинитных чисел некоторый символ вечности и приводил строку из стихотворения швейцарского натуралиста и поэта XVIII века Альбрехта фон Галера: "я его (чудовищно огромное число) отнимаю, а ты (вечность) лежишь целая передо мной". Религиозно-мистические импликации были для Кантора устойчивым фоном его научной деятельности. Кантор понимал свою профессиональную деятельность одновременно и как выполнение определенной религиозной миссии -донести до человечества истину о трансфинитных числах, содержащихся в уме Бога. Даубен утверждает и нечто большее: «В конце концов, Кантор рассматривал трансфинитные числа как ведущие прямо к Абсолюту, к единственной "истинной бесконечности", величину которой невозможно ни увеличить, ни уменьшить, а только представить как абсолютный максимум, непостижимый в пределах человеческого понимания». Шкала трансфинитных чисел оказывается в этом смысле своеобразной лестницей на небо, лестницей, ведущей к самому Абсолюту. (...) Именно поэтому, считает Даубен, Кантора и не смущали появляющиеся парадоксы теории множеств. Ведь речь шла о божественной Истине, во всей полноте понятной только божественному Уму. Для человеческого же ума, пытающегося схватить эту божественную бесконечность, неизбежно было впадать в противоречия и антиномии..."¹⁷.

Но не только необходимость работать с таким противоречивым объектом, как актуальная бесконечность, приводила математиков к тому, чтобы искать обоснование если не прямо бытия Бога, то некоторых идеальных сущностей. Уже в конце XX в. в математике стала вырабатываться система взглядов, которая была названа "математический платонизм". Один из наиболее последовательных ее приверженцев нобелевский лауреат по физике Роджер Пенроуз писал: «Насколько реальны объекты математического мира? Некоторые считают, что ничего реального в них быть не может. Математические объекты суть просто понятия, они представляют собой мысленные идеализации, созданные математиками - часто под влиянием внешних проявлений и кажущегося порядка окружающего нас мира; но при этом они - всего лишь рожденные разумом абстракции. Могут ли они представлять собой что-либо, кроме просто произвольных конструкций, порожденных человеческим мышлением? И в то же время эти математические понятия часто выглядят глубоко реальными, и эта реальность выходит далеко за пределы мыслительных процессов любого конкретного математика. Тут как будто имеет место обратное явление - человеческое мышление как бы само оказывается направляемым к некой внешней истине - истине, которая реальна сама по себе, и которая открывается каждому из нас лишь частично (...) Что такое математика -изобретение или открытие? Процесс получения математических результатов - что это: всего лишь построение не существующих в действительности сложных мыслительных конструкций, мощь и элегантность которых способна обмануть даже их собственных изобретателей, заставив их поверить в "реальность" этих не более чем умозрительных построений? Или же математики действительно открывают истины где-то уже существующие, чья реальность в значительной степени независима от их деятельности? Я думаю, что читателю уже должно быть совершенно ясно, что я склонен придерживаться скорее второй, чем первой точки зрения, по крайней мере, в отношении таких структур, как комплексные числа или множество Мандельброта»¹⁸.

Достоевский относится к математическим объектам так же, как Пенроуз, - он принимает реальность бесконечности, он видит треугольник Лобачевского. Достоевский стремится к последней строгости и аксиоматической точности в рассуждении. Но он остается художником, и его последнее доказательство, все равно, - это убедительнейшая демонстрация своей правоты в слове, многозначном, ветвящемся, задевающем такие глубины, куда математике входа уже нет.

¹ В тексте романа "Братья Карамазовы" имя "Эвклид" и производные от него определения пишутся через "э". В математических текстах такое написание практически не встречается. За исключением прямых цитат из текста романа я буду придерживаться более привычной формы написания имени греческого математика: Евклид. Евклид - греческий математик Ш века до Р. Х.

² Кант И. Кант И.

³ Там же. С. 41.

⁴ Наука логики: В 3 т. М., 1970. Т. 1. С. 313-318.

⁵ Цит. по:

⁶ В октябре 1834 г. в журнале "Сын отечества" № 41 была опубликована критическая рецензия на работу Лобачевского "О началах геометрии", подписанная С. С. Рецензент писал: "Как можно подумать, чтобы г-н Лобачевский, ординарный профессор математики, написал с какою-нибудь серьезною целию книгу, которая немного бы принесла чести и последнему приходскому учителю? Если не ученость, то по крайней мере здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой геометрии нередко недостает и сего последнего". В заключение предлагается назвать книгу Лобачевского "Карикатура на геометрии". (Цит. по: Лаптев БЛ. Н. И. Лобачевский и его геометрия. М., 1976. С. 34).

"здравый смысл" как набор затверженных истин, каждая из которых сама по себе может быть совсем не очевидной, а только лишь привычной, но и уровень русских журналов, предназначенных для широкой публики, на страницах которых обсуждались новейшие математические исследования. Сегодня я не могу представить себе общественно-политический журнал, который всерьез обсуждал бы какую-либо математическую работу четырехлетней давности.

⁷ Существует полулегендарное свидетельство о том, как Альберт Эйнштейн отозвался о Достоевском. Константин Кедров пишет: «Об этом свидетельствуют воспоминания А. Мошковского об Эйнштейне: "Достоевский! - Он повторил это имя несколько раз с особенным ударением. И, чтобы пресечь в корне всякое возражение, он добавил: Достоевский дает мне больше, чем любой научный мыслитель, больше, чем Гаусс!"». (Цит. по интернет-изданию книги Константина Кедрова "Параллельные миры" (http://www.universalinter-netlibrary.ru/)). Конечно, великий писатель не может не повлиять на любого чуткого читателя. Но все-таки прямое сравнение с Гауссом говорит, по-видимому, о направленном влиянии. Гаусс был одним из создателей неевклидовой геометрии, наряду с Лобачевским и венгерским математиком Яношем Бойаи (1802-1860). Лобачевский опубликовал свои результаты первым. В созданной Эйнштейном Специальной Теории Относительности геометрия пространства-времени (пространства Минковского) почти евклидова (точнее, псевдоевклидова), но уже в Общей Теории Относительности рассматривается неевклидова геометрия с неустранимой кривизной. Быть может, Эйнштейн увидел у Достоевского подтвержденную мысленным экспериментом Ивана Федоровича саму возможность построения другой аксиоматики пространства-времени.

⁸ Ивин АЛ.

⁹ "Геологический переворот" напоминает Ивану его ночной собеседник, и тут же демонстрирует недостижимость той идеальной картины мира, которую нарисовал Иван в своей поэме: люди не равны между собой, одни уже обладают истиной, другие — только-только ее нащупывают. Первые не будут ждать. Говоря языком математики, нарисованная Иваном картина неустойчива по отношению к малым колебаниям. "По-моему, и разрушать ничего не надо, а надо всего только разрушить в человечестве идею о Боге, вот с чего надо приняться за дело! С этого, с этого надобно начинать - о слепцы, ничего не понимающие! Раз человечество отречется поголовно от Бога (а я верю, что этот период - параллель геологическим периодам - совершится), то само собою, без антропофагии, падет всё прежнее мировоззрение и, главное, вся прежняя нравственность, и наступит всё новое (...) Всякий узнает, что он смертен весь, без воскресения, и примет смерть гордо и спокойно, как бог. Он из гордости поймет, что ему нечего роптать за то, что жизнь есть мгновение, и возлюбит брата своего уже безо всякой мзды.

Любовь будет удовлетворять лишь мгновению жизни, но одно уже сознание ее мгновенности усилит огонь ее настолько, насколько прежде расплывалась она в упованиях на любовь загробную и бесконечную (...) Вопрос теперь в том, думал мой юный мыслитель: возможно ли, чтобы такой период наступил когда- нибудь или нет? Если наступит, то всё решено, и человечество устроится окончательно. Но так как, ввиду закоренелой глупости человеческой, это, пожалуй, еще и в тысячу лет не устроится, то всякому, сознающему уже и теперь истину, позволительно устроиться совершенно как ему угодно, на новых началах.

В этом смысле ему "всё позволено". Мало того: если даже период этот и никогда не наступит, но так как Бога и бессмертия все-таки нет, то новому человеку позволительно стать человеко-богом, даже хотя бы одному в целом мире, и, уж конечно, в новом чине, с легким сердцем перескочить всякую прежнюю нравственную преграду прежнего раба-человека, если оно понадобится. Для бога не существует закона! Где станет бог - там уже место божие! Где стану я, там сейчас же будет первое место... "всё дозволено", и шабаш!" (15, 83-84).

¹⁰ Почему я не христианин. М., 1987. С. 292.

¹¹ Труды по нематематике: В 2 т. М., 2002. Т. 1. С. 94.

¹² Введение в математическую логику. М., 1960. С. 48-49. Геометрия Достоевского 69

¹³

¹⁴ "О логике норм и действий", см.: Вригт П Ч. фон. Логико-философские исследования: Избр. тр.: Пер. с англ. М., 1986. С. 246-247.

¹⁵ Здесь речь, вероятно, идет о максимальном треугольнике на плоскости Лобачевского. В зависимости от кривизны (плоскость Лобачевского имеет постоянную отрицательную кривизну, она подобна поверхности однополосного гиперболоида) максимальный треугольник имеет различную площадь, но такой треугольник всегда существует. На евклидовой плоскости максимального треугольника, естественно, быть не может - всегда можно построить треугольник все большей и большей площади. На плоскости Лобачевского максимальный треугольник одна из самых неожиданных фигур - вершины этого треугольника удалены на бесконечность. Его стороны - параллельны (они пересекаются только в бесконечности), и все углы равны нулю.

¹⁶ См.: Математически о сближении параллельных, о Боге // Достоевский: Дополнения к комментарию / Под ред. Т. А. Касаткиной. М., 2005.

¹⁷ Катасонов В. Н. Лестница на небо (генезис теории множеств Г. Кантора и проблема границ науки) // Границы науки / Ин-т философии РАН. М., 2000. С. 45.

¹⁸